実行日時: 2026-11-11T18:45:17（ID: 20261111-184517-a96753）／ 対象: 高校生(数学I・A)／ TikZ作図: なし ← 履歴一覧に戻る
問題TeXソース
¥item $n$は$6$の倍数とする。$1 ¥leqq t < u < v ¥leqq n$かつ$t+u+v=n$となる整数$t,u,v$の組み合わせは何通りあるか。
追加指示 → 再生成
最新版（第1版）の最終解説をもとに、指示に従ってGPTが書き直し、Claudeが再検査します。
第1版（最新）
Claudeによる指摘事項
誤りなし
修正後の解説TeX（最終）
\item まず、大小関係を考えず、$a+b+c=n$を満たす正の整数の組$(a,b,c)$を数える。
$n$個のものを一列に並べ、その間の$n-1$か所から仕切りを入れる$2$か所を選べばよいので、全部で$\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}$通りある。
このうち、$2$つ以上の数が等しい組を除く。
$a=b$のとき、$c=n-2a\geqq1$より、$a$は$1$から$\dfrac n2-1$までの$\dfrac n2-1$通りである。
この中で$3$つとも等しい組は、$a=b=c=\dfrac n3$の$1$通りである。
したがって、ちょうど$2$つが等しい組は、等しい位置の選び方が$3$通りあるので、$3\left(\dfrac n2-2\right)$通り。
よって、$3$つがすべて異なる組は
$\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}-3\left(\dfrac n2-2\right)-1$通りとなる。
異なる$3$数の並べ方は$6$通りで、そのうち$t<u<v$となるのは$1$通りである。また、正の整数で和が$n$なら$v\leqq n$も満たす。
したがって、求める組み合わせは
$\dfrac16\left\{\dfrac{(n-1)(n-2)}2-3\left(\dfrac n2-2\right)-1\right\}
=\boxed{\dfrac{n^2-6n+12}{12}\text{通り}}$。
GPT生成 解説TeX（検査前）
\item まず、大小関係を考えず、$a+b+c=n$を満たす正の整数の組$(a,b,c)$を数える。
$n$個のものを一列に並べ、その間の$n-1$か所から仕切りを入れる$2$か所を選べばよいので、全部で$\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}$通りある。
このうち、$2$つ以上の数が等しい組を除く。
$a=b$のとき、$c=n-2a\geqq1$より、$a$は$1$から$\dfrac n2-1$までの$\dfrac n2-1$通りである。
この中で$3$つとも等しい組は、$a=b=c=\dfrac n3$の$1$通りである。
したがって、ちょうど$2$つが等しい組は、等しい位置の選び方が$3$通りあるので、$3\left(\dfrac n2-2\right)$通り。
よって、$3$つがすべて異なる組は
$\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}-3\left(\dfrac n2-2\right)-1$通りとなる。
異なる$3$数の並べ方は$6$通りで、そのうち$t<u<v$となるのは$1$通りである。また、正の整数で和が$n$なら$v\leqq n$も満たす。
したがって、求める組み合わせは
$\dfrac16\left\{\dfrac{(n-1)(n-2)}2-3\left(\dfrac n2-2\right)-1\right\}
=\boxed{\dfrac{n^2-6n+12}{12}\text{通り}}$。