実行日時: 2026-11-06T19:33:53（ID: 20261106-193353-19f863）／ 対象: 高校生(数学III・C)／ TikZ作図: なし ← 履歴一覧に戻る
問題TeXソース
\item $\displaystyle \int \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1} \, dx \quad (x > 0)$ 【★★★★】
追加指示 → 再生成
最新版（第1版）の最終解説をもとに、指示に従ってGPTが書き直し、Claudeが再検査します。
第1版（最新）
Claudeによる指摘事項
誤りなし
修正後の解説TeX（最終）
\item $x>0$より、$\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+1}=\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}$である。
$t=\sqrt{1+x^2}$とおくと、$t>1$、$x^2=t^2-1$、$dx=\dfrac{t}{x}\,dt$であるから、
$\displaystyle \int \dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}\,dx
=\int \dfrac{t^2}{t^2-1}\,dt$。
ここで、$\dfrac{t^2}{t^2-1}=1+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t+1}\right)$より、
$\displaystyle \int \dfrac{t^2}{t^2-1}\,dt
=t+\dfrac{1}{2}\log\dfrac{t-1}{t+1}+C$。
したがって、答えは
$\boxed{\sqrt{1+x^2}+\dfrac{1}{2}\log\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}+1}+C}$
（$C$は積分定数）。
GPT生成 解説TeX（検査前）
\item $x>0$より、$\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+1}=\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}$である。
$t=\sqrt{1+x^2}$とおくと、$t>1$、$x^2=t^2-1$、$dx=\dfrac{t}{x}\,dt$であるから、
$\displaystyle \int \dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}\,dx
=\int \dfrac{t^2}{t^2-1}\,dt$。
ここで、$\dfrac{t^2}{t^2-1}=1+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t+1}\right)$より、
$\displaystyle \int \dfrac{t^2}{t^2-1}\,dt
=t+\dfrac{1}{2}\log\dfrac{t-1}{t+1}+C$。
したがって、答えは
$\boxed{\sqrt{1+x^2}+\dfrac{1}{2}\log\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}+1}+C}$
（$C$は積分定数）。