LaTeX 解答生成・検査パイプライン

実行日時: 2026-09-24T15:02:38（ID: 20260924-150238-34639a） ← 履歴一覧に戻る

¥begin{enumerate}

¥item $n$人のクラスで、次のようなゲームをします。
¥begin{itemize}
  ¥item $1$人目は、「好きな数」を考えて、$2$人目に伝える。
  ¥item $2$人目は、$1$人目の言った数の$3$倍に$4$を加えた数を$3$人目に伝える。
  ¥item $3$人目以降は、伝えられた数の$3$倍に$4$を加えた数を、次の人に伝える。
¥end{itemize}
　
¥begin{enumerate}
¥item $1$人目の考えた「好きな数」が$2$であるとき、$5$人目が次の人に伝える数を求めよ。
¥item $n$人目が次の人に伝える数を$a_n$とするとき、$a_{n+1}$を$a_{n}$で表わせ。
¥item $1$人目が考えた「好きな数」が$2$であるとき、$a_n$を求めよ。
¥end{enumerate}
¥vspace{35ZW}


¥fbox{確率漸化式}
¥item サイコロをふって、$5$以上の出目であれば、コインが$1$枚もらえるゲームを繰り返し行う。
¥begin{enumerate}
  ¥item $2$回ゲームを行ったとき、コインの枚数が偶数である確率を求めよ。ただし、$0$は偶数とする。
  ¥item $n$回ゲームを行ったとき、コインの枚数が偶数である確率を$a_n$とする。$a_{n+1}$を$a_n$で表わせ。
  ¥item $a_n$を求めよ。
¥end{enumerate}
¥vspace{35ZW}


¥item 箱の中に$1$から$5$の数字が$1$つずつ書かれた$5$個の玉が入っている。$1$個の玉を取り出し、数字を記録してから箱の中に戻すという操作を$n$回繰り返し行ったとき、記録した数字の和が奇数である確率を$a_n$とする。このとき、次の各問いに答えよ。
¥begin{enumerate}
  ¥item $a_1~,~a_2~,~a_3$を求めよ。
  ¥item $a_{n+1}$を$a_n$を用いて表わせ。
  ¥item $a_n$を求めよ。
¥end{enumerate}
¥vspace{35ZW}



¥item  スイッチを入れると赤色または青色で点滅する電灯がある．最初の発色が赤である確率は$¥dfrac{1}{2}$、青である確率も$¥dfrac{1}{2}$とする。２回目以降は，赤色に つづいて赤に発色する確率は$¥dfrac{1}{3}$、青色につづいて青に発色する確率は$¥dfrac{3}{5}$であるとする。このとき、$n$回目の発色が赤である確率を求めよ。
¥newpage

¥item 四面体$OABC$の頂点を移動する点$P$がある。点$P$は１つの頂点に達してから１秒後に、他の３つの頂点のいずれかにおのおの$¥dfrac{1}{3}$の確率で移動する。頂点$O$にいた点$P$がそれから$n$秒後に頂点$A$にいる確率を$p_n$とする。このとき、$p_n$を求めよ。
¥vspace{35ZW}


¥item $1$と$6$が正反対の位置にあるさいころを、等確率で横に倒していく。
最初に$1$の目が上にあるとき、$n$回後に$1$または$6$の目が上にある確率を求めよ。



¥newpage

¥item 立方体のある頂点にマウスがいて、$1$回ごとに頂点からとなりの頂点へ辺に沿って移動する。頂点に立つごとに、どの方向へ進むかは（今来た辺を含めて）等確率であるとする。$2n$回の移動で最初の頂点にもどる確率を$p_n$とするとき、$p_n$を$n$で表せ。


¥vspace{35ZW}

¥item ２つの袋$A,B$に$1$のカードと$2$のカードが入っている。$A$から$1$枚のカードを取り出して$B$に入れ、よく混ぜたのち$B$からカードを$1$枚取り出して$A$に入れる。これを$1$回の操作と数える。初めに$A$の中に$1$のカード$3$枚と$2$のカード$1$枚が、$B$の中には$1$のカード$4$枚だけが入っているとして、この操作を$n$回繰り返した後、$2$のカードが$A$に入っている確率を$p_n$とする。このとき、$p_n$を求めよ。

¥newpage

¥item ２つの箱$A、B$のそれぞれに赤球が１個、白球が３個、合計４個ずつ入っている。１回の試行で箱$A$の球１個と箱$B$の球１個を無作為に選び交換する。この試行を$n$回繰り返した後、箱$A$に赤球が$1$個、白球が$3$個入っている確率$p_n$を求めよ。

¥vspace{35ZW}







¥end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $322$
\item $a_{n+1}=3a_n+4$
\item $a_n=4\cdot 3^{n-1}-2$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{5}{9}$
\item $a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{3}$
\item $a_n=\dfrac{1}{2}\left\{1+\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right\}$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $a_1=\dfrac{3}{5},\quad a_2=\dfrac{12}{25},\quad a_3=\dfrac{63}{125}$
\item $a_{n+1}=-\dfrac{1}{5}a_n+\dfrac{3}{5}$
\item $a_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{10}\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n-1}$
\end{enumerate}

\item $\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{8}\left(-\dfrac{1}{15}\right)^{n-1}$

\item $p_n=\dfrac{1}{4}\left\{1-\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n\right\}$

\item $\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$

\item $p_n=\dfrac{1}{4}\left(1+\dfrac{3}{9^n}\right)$

\item $p_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{5}\right)^n$

\item $p_n=\dfrac{4}{7}+\dfrac{3}{7}\left(\dfrac{1}{8}\right)^n$
\end{enumerate}

誤りなし

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $322$
\item $a_{n+1}=3a_n+4$
\item $a_n=4\cdot 3^{n-1}-2$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{5}{9}$
\item $a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{3}$
\item $a_n=\dfrac{1}{2}\left\{1+\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right\}$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $a_1=\dfrac{3}{5},\quad a_2=\dfrac{12}{25},\quad a_3=\dfrac{63}{125}$
\item $a_{n+1}=-\dfrac{1}{5}a_n+\dfrac{3}{5}$
\item $a_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{10}\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n-1}$
\end{enumerate}

\item $\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{8}\left(-\dfrac{1}{15}\right)^{n-1}$

\item $p_n=\dfrac{1}{4}\left\{1-\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n\right\}$

\item $\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$

\item $p_n=\dfrac{1}{4}\left(1+\dfrac{3}{9^n}\right)$

\item $p_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{5}\right)^n$

\item $p_n=\dfrac{4}{7}+\dfrac{3}{7}\left(\dfrac{1}{8}\right)^n$
\end{enumerate}