LaTeX 解答生成・検査パイプライン

実行日時: 2026-09-22T17:04:05（ID: 20260922-170405-4f0cae） ← 履歴一覧に戻る

¥item 平面上に三角形$OAB$があり、$3$辺の長さは$AB=5~,~OA=6~,~OB=7$であるとする。この三角形$OAB$と正の数$t$に対して、$¥vect{OP}= t ¥vect{OA} + ¥dfrac{1}{t} ¥vect{OB}$をみたす点を$P$をとる。
¥begin{enumerate}
  ¥item $¥vect{OA} ¥cdot ¥vect{OB}$を求めよ。
  ¥item $t$が正の数全体を動くとき、$| ¥vect{OP} |$が最小値をとるような$t$の値を$t_0$とし、$t=t_0$のときの点$P$を$P_0$とする。このときの、$t_0$の値および$|¥vect{OP_0}|$の値を求めよ。
  ¥item $(2)$の点$P_0$から直線$OA$に下ろした垂線を$P_0H$とする。このとき、$¥vect{OH} = k ¥vect{OA}$とおく。$k$の値を求めよ。
¥end{enumerate}
¥begin{flushright}
	$ ¥langle 2008 東京医科大学 ¥rangle $
¥end{flushright}

\item
\begin{enumerate}
  \item $30$
  \item $t_0=\sqrt{\dfrac{7}{6}}$（等号成立条件：$36t^2=\dfrac{49}{t^2}$）、$|\vect{OP_0}|=12$
  \item $k=\dfrac{2\sqrt{42}}{7}$
\end{enumerate}

- 数値自体(30、$t_0=\sqrt{\dfrac{7}{6}}$、$|\vect{OP_0}|=12$、$k=\dfrac{2\sqrt{42}}{7}$)はすべて正しいが、(2)の解答は途中の計算過程(|\vect{OP}|^2の展開、相加相乗平均の適用)が省略されており、「等号成立条件：$36t^2=\dfrac{49}{t^2}$」という記述だけでは何の式に対する等号成立条件なのか読者に伝わらず不備がある。相加相乗平均を用いた計算過程を明示し、等号成立条件を適切な文脈で示す必要がある。
- (3)についても計算過程が全くなく、結論のみが書かれている。答案として不十分なため、計算過程を補うべきである。

\item
\begin{enumerate}
  \item $\vect{OA} \cdot \vect{OB} = \dfrac{OA^2+OB^2-AB^2}{2} = \dfrac{36+49-25}{2} = 30$
  \item $|\vect{OP}|^2 = |t\vect{OA} + \dfrac{1}{t}\vect{OB}|^2 = t^2|\vect{OA}|^2 + 2\vect{OA}\cdot\vect{OB} + \dfrac{1}{t^2}|\vect{OB}|^2$

  $= 36t^2 + 60 + \dfrac{49}{t^2}$

  $t>0$より、相加相乗平均の関係から

  $36t^2 + \dfrac{49}{t^2} \geqq 2\sqrt{36t^2 \cdot \dfrac{49}{t^2}} = 2\sqrt{36 \cdot 49} = 84$

  等号が成り立つのは$36t^2 = \dfrac{49}{t^2}$のとき、すなわち$t^4 = \dfrac{49}{36}$より$t^2 = \dfrac{7}{6}$（$t>0$）のときである。

  よって$t_0 = \sqrt{\dfrac{7}{6}} = \dfrac{\sqrt{42}}{6}$のとき、$|\vect{OP}|^2$は最小値$84+60=144$をとる。

  したがって、$t_0=\dfrac{\sqrt{42}}{6}$、$|\vect{OP_0}|=12$

  \item $\vect{OH} = k\vect{OA}$とおくと、$P_0H \perp OA$より

  $(\vect{OP_0} - \vect{OH}) \cdot \vect{OA} = 0$

  すなわち $\vect{OP_0} \cdot \vect{OA} = k|\vect{OA}|^2$

  ここで、$\vect{OP_0} = t_0\vect{OA} + \dfrac{1}{t_0}\vect{OB}$であるから

  $\vect{OP_0} \cdot \vect{OA} = t_0|\vect{OA}|^2 + \dfrac{1}{t_0}\vect{OA}\cdot\vect{OB} = 36t_0 + \dfrac{30}{t_0}$

  $t_0 = \dfrac{\sqrt{42}}{6}$、$\dfrac{1}{t_0} = \dfrac{6}{\sqrt{42}} = \dfrac{\sqrt{42}}{7}$を代入すると

  $36t_0 = 36 \cdot \dfrac{\sqrt{42}}{6} = 6\sqrt{42}$

  $\dfrac{30}{t_0} = 30 \cdot \dfrac{\sqrt{42}}{7} = \dfrac{30\sqrt{42}}{7}$

  よって $\vect{OP_0} \cdot \vect{OA} = 6\sqrt{42} + \dfrac{30\sqrt{42}}{7} = \dfrac{42\sqrt{42}+30\sqrt{42}}{7} = \dfrac{72\sqrt{42}}{7}$

  したがって $k = \dfrac{\vect{OP_0} \cdot \vect{OA}}{|\vect{OA}|^2} = \dfrac{72\sqrt{42}}{7 \times 36} = \dfrac{2\sqrt{42}}{7}$
\end{enumerate}