実行日時: 2026-09-22T15:35:09（ID: 20260922-153509-dbaae5） ← 履歴一覧に戻る
問題TeXソース
¥item $n$を自然数とするとき、座標平面上で$y=-x^2+3nx$と直線$y=nx$とで囲まれた領域に含まれる格子点の総数を求めよ。ただし、放物線および直線上にある点も数えるものとします。
¥newpage
¥item $¥displaystyle f(x) + ¥int_0^x g(t) dt = 2x^2-¥dfrac{1}{2}~,~f'(x)g(x)=3x^2$となる整式$f(x),g(x)$を求めよ。
¥vspace{30ZW}
¥item $a_1 = 4~,~a_{n+1}=¥dfrac{4a_n-9}{a_n-2}~(n=1,2,3,¥cdots)$で定められる数列$¥{ a_n ¥}$がある。
¥begin{enumerate}
¥item
¥item $¥{ a_n ¥}$の一般項を求めよ。
¥end{enumerate}
¥item $1$以上$10$以下の自然数の中から、どの$2$つの差も$2$以上である。$3$つの異なる自然数の組を選ぶ場合の数は何通りあるか。¥¥
ただし、たとえば$(2,4,9),(9,4,2)$は同じものとして数える。
% 56
¥vspace{30ZW}
¥item 自然数$n$をそれより小さい自然数の和として表すことを考える。ただし、$1+2+1$と$1+1+2$のように、和の順序が異なるものは別の表し方とする。例えば、自然数$2$は$1+1$の$1$通りの表し方ができ、自然数$3$は$2+1$,$1+2$,$1+1+1$の$3$通りの表し方ができる。このとき、$2$以上の自然数$n$の表し方は何通りあるか。
% 2^n -1
GPT生成 解答TeX（検査前）
\item $\dfrac{(2n+1)(2n^2-n+3)}{3}$
\item $(f(x),g(x))=\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{2},3x\right),\left(\dfrac{3x^2}{2}-\dfrac{1}{2},x\right)$
\item
\begin{enumerate}
\item
\item $a_n=3+\dfrac{1}{n}$
\end{enumerate}
\item $56$通り
\item $2^{n-1}-1$通り
Claudeによる指摘事項
誤りなし
修正後の解答TeX（最終）
\item $\dfrac{(2n+1)(2n^2-n+3)}{3}$
\item $(f(x),g(x))=\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{2},3x\right),\left(\dfrac{3x^2}{2}-\dfrac{1}{2},x\right)$
\item
\begin{enumerate}
\item
\item $a_n=3+\dfrac{1}{n}$
\end{enumerate}
\item $56$通り
\item $2^{n-1}-1$通り