LaTeX 解答生成・検査パイプライン

問題TeXソース

¥item 【整数・不定方程式】$x^2+7xy+12y^2+x+3y-9=0$を満たす整数$x,y$の組を全て求めよ。
¥vspace{30ZW}

¥item 【確率・場合の数】袋の中に、$1$から$6$までの番号が$1$つずつ書かれた$6$個の玉が入っている。袋から$6$個の玉を$1$つずつ取り出していき、$k$番目に取り出した玉に書かれた番号を$a_k$とする。ただし、取り出した玉は元に戻さない。
¥begin{enumerate}
  ¥item $a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6$となる確率を求めよ。
  ¥item $a_6$が偶数であったとき、$a_1$が奇数である確率を求めよ。
¥end{enumerate}
 ¥begin{flushright}
	$ ¥langle 2016 学習院大学 ¥rangle $
¥end{flushright}
% 1/15
¥newpage

¥item 【見方を変える】条件$1 < x < 2^{n+1} $および$0 < y ¥LEQQ ¥log_2 x$を満たす整数$x,y$を座標とする点$(x,y)$の個数を求めよ。ただし、$n$は正の整数である。
¥begin{flushright}
	$ ¥langle 2013 大阪大学 ¥rangle $
¥end{flushright}
¥vspace{35ZW}


¥item 【最短距離】$xyz$空間内に、$A(2,1,3),B(4,1,2)$がある。いま、$xy$平面上に点$P$をとって、$AP+PB$の値が最小となるようにしたい。このとき、点$P$の座標と、そのときの$AP+PB$の値を求めよ。
¥newpage


¥item 

¥item 【方針を立てづらい問題】任意の実数$x,y$に対し、
¥[ f(x^2)-f(y^2)+2x+1=f(x+y)f(x-y) ¥]
を満たすような関数$f(x)$を求めよ。
 f(x)=x+1


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¥item 【端数処理】自然数$n$に対して、$¥sqrt{n}$に最も近い整数を$a_n$とする。$m$を自然数とするとき、$a_n=m$となる自然数$n$の個数を$m$を用いて表せ。また、$¥displaystyle ¥sum_{k=1}^{2001} a_k$を求めよ。

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¥item 【確率・場合の数】机のひきだし$A$に$3$枚のメダル、ひきだし$B$に$2$枚のメダルが入っている。ひきだし$A$の各メダルの色は金・銀・銅のどれかであり、ひきだし$B$の各メダルの色は金、銀のどちらかである。
¥begin{enumerate}
  ¥item ひきだし$A$のメダルの色が$2$種類である確率を求めよ。
  ¥item ひきだし$A,B$をあわせたメダルの色が$2$種類である確率を求めよ。
  ¥item ひきだし$A,B$をあわせてちょうど$3$枚の金メダルが入っていることがわかっているとき、ひきだし$A$のメダルの色が$2$種類である確率を求めよ。
¥end{enumerate}
 ¥begin{flushright}
	$ ¥langle 2016 北海道大学 ¥rangle $
¥end{flushright}


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¥item 【積分による求積】 $a¥geqq0$とする。
2つの放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=3{(x-a)}^2+a^3-40$を考える。
以下の問いに答えよ。
¥begin{description}
¥item[(1)]$C_1$と$C_2$が異なる2点で交わるような定数$a$の値の範囲を求めよ。
¥item[(2)]$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，
$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S$の最大値を求めよ。
¥end{description} %九州大学2020

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¥item 【積分による求積】座標平面上に2つの放物線$C_1:y=2x^2$と
$¥displaystyle C_2:y=-x^2+2x-¥frac{19}{8}$がある。
¥begin{description}
¥item[(1)]$C_1$と$C_2$の両方に接する直線をすべて求めよ。
¥item[(2)](1)で求めた直線のうち傾きが負であるものを$l$とする。
$C_1$，$x$軸および$l$が囲む部分の面積を求めよ。
¥end{description}%北大2020

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¥item 【積分による求積】$a$を実数として$f(x)=2x^2-2ax-a^2$とおく。以下の問に答えよ。
¥begin{description}
¥item[(1)]方程式$f(x)=0$の解$t$が，必ず$-1 ¥leqq t ¥leqq 1$をみたすための$a$の条件を求めよ。
¥item[(2)](1)で求めた条件をみたす$a$に対して
¥[ S(a)=¥int_{-1}^1|f(x)|dx ¥]
とおく。$S(a)$の値を求めよ。
¥item[(3)]$S(a)$の値が最小となる$a$を求めよ。
¥end{description} %名古屋2020




¥end{enumerate}

GPT生成 解答TeX（検査前）

\item
\[
(x,y)=(-20,7),(6,-1),(36,-9),(26,-9),(0,-1),(-30,7)
\]

\item
\begin{enumerate}
  \item \(\displaystyle \frac{1}{15}\)
  \item \(\displaystyle \frac{3}{5}\)
\end{enumerate}

\item
\[
(n-1)2^{n+1}+2
\]

\item
\[
P\left(\frac{16}{5},1,0\right),\qquad AP+PB=\sqrt{29}
\]

\item

\item
\[
f(x)=x+1
\]

\item
\[
2m,\qquad \sum_{k=1}^{2001}a_k=59685
\]

\item
\begin{enumerate}
  \item \(\displaystyle \frac{2}{3}\)
  \item \(\displaystyle \frac{11}{27}\)
  \item \(\displaystyle \frac{18}{25}\)
\end{enumerate}

\item
\begin{description}
\item[(1)] \(\displaystyle 0\leqq a<4\)
\item[(2)] \(\displaystyle 243\)
\end{description}

\item
\begin{description}
\item[(1)]
\[
y=\frac{11}{3}x-\frac{121}{72},\qquad
y=-x-\frac18
\]
\item[(2)] \(\displaystyle \frac{1}{384}\)
\end{description}

\item
\begin{description}
\item[(1)] \(\displaystyle -(\sqrt3-1)\leqq a\leqq \sqrt3-1\)
\item[(2)]
\[
S(a)=\frac43-2a^2+2\sqrt3\,|a|^3
\]
\item[(3)]
\[
a=\pm\frac{2}{3\sqrt3}
\]
\end{description}

Claudeによる指摘事項

修正後の解答TeX（最終）