実行日時: 2026-08-06T15:02:29（ID: 20260806-150229-8a4620） ← 履歴一覧に戻る
問題TeXソース
¥begin{enumerate}
¥item 正の実数$a$に対して、$f(x)=(2-ax)e^{-a(x-2)}$とする。次の問に答えよ。
¥begin{enumerate}
¥item $f(x)$の増減を調べよ。
¥item $f(x)$を最小にする$x$の値を$p$で表す。このとき、$S=¥displaystyle ¥int_{0}^{p} | f(x)| dx$を$a$を用いて表せ。
¥item $(2)$の$S$を最小にする$a$の値を求めよ。
¥end{enumerate}
¥begin{flushright}
$ ¥langle 早稲田理工 2017 ¥rangle $
¥end{flushright}
¥newpage
¥item $a$を定数、$e$を自然対数の底とし、$f(x)=(a-x^2)e^{-¥frac{x^2}{2}}$とおく。
¥begin{enumerate}
¥item $x>0$のとき、不等式$e^x > 1+x+¥dfrac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ。
¥item $¥displaystyle ¥lim_{x ¥to ¥infty} f(x)$を求めよ。
¥item 関数$f(x)$が、$-1 <x < 2$において、ちょうど$2$個の極値をもつように、定数$a$の値の範囲を定めよ。
¥item $a$は$(3)$で定めた範囲にあるとする。区間$(- ¥infty,¥infty)$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ。
¥end{enumerate}
¥begin{flushright}
$ ¥langle 群馬大医 2015 ¥rangle $
¥end{flushright}
¥newpage
¥item 微分可能な関数$f(x)$は、$2$つの条件$f'(x)=x e^x~,~f(1)=0$を満たしている。このとき、次の問いに答えよ。
¥begin{enumerate}
¥item 関数$f(x)$を求めよ。
¥item すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ。
¥[ g(x) = f(x) + ¥dfrac{(2-x)e^x}{e-1} ¥displaystyle ¥int_{0}^{1} g(t) dt ¥]
¥item $g(x)$を$(2)$で求めた関数とし、$k$を定数とする。$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ。ただし、$¥displaystyle ¥lim_{x ¥to ¥infty} ¥frac{e^x}{x} = ¥infty$を用いてよい。
¥end{enumerate}
¥begin{flushright}
$ ¥langle 宇都宮大 2015 ¥rangle $
¥end{flushright}
¥newpage
¥item 連立方程式$¥begin{cases} x^2 = yz+7 ¥¥ y^2 = zx + 7 ¥¥ z^2 = xy+7 ¥end{cases}$を満たす整数の組$(x,y,z)$で、$x ¥leqq y ¥leqq z$となるものを求めよ。
¥begin{flushright}
$ ¥langle 一橋大 2017 ¥rangle $
¥end{flushright}
¥end{enumerate}
GPT生成 解答TeX（検査前）
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
\[
\begin{array}{c|ccc}
x&-\infty&\dfrac{3}{a}&\infty\\ \hline
f'(x)&-&0&+\\
f(x)&\searrow&\text{最小}&\nearrow
\end{array}
\]
\item
\[
p=\frac{3}{a},\qquad
S=\frac{e^{2a}}{a}\left(1+\frac{2}{e^2}-\frac{2}{e^3}\right)
\]
\item
\[
a=\frac12
\]
\end{enumerate}
\newpage
\item
\begin{enumerate}
\item
\[
e^x-1-x-\frac{x^2}{2}
=\frac12\int_0^x (x-t)^2e^t\,dt>0
\qquad(x>0)
\]
\item
\[
\lim_{x\to\infty}f(x)=0
\]
\item
\[
-1\leqq a<2
\]
\item
\[
\begin{array}{c|c|c}
a&\text{最大値}&\text{最小値}\\ \hline
-1\leqq a<0&\text{存在しない}&-2e^{-\frac{a+2}{2}}\\[2mm]
0\leqq a<2&a&-2e^{-\frac{a+2}{2}}
\end{array}
\]
\[
x_{\min}=\pm\sqrt{a+2},\qquad
x_{\max}=0\quad(0\leqq a<2)
\]
\end{enumerate}
\newpage
\item
\begin{enumerate}
\item
\[
f(x)=(x-1)e^x
\]
\item
\[
g(x)=e^x
\]
\item
\[
\begin{array}{c|ccccc}
k&k<0&k=0&0<k<e&k=e&k>e\\ \hline
\text{異なる実数解の個数}&1&0&0&1&2
\end{array}
\]
\end{enumerate}
\newpage
\item
\[
(x,y,z)=(-3,1,2),\quad(-2,-1,3)
\]
\end{enumerate}
Claudeによる指摘事項
誤りなし
修正後の解答TeX（最終）
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
\[
\begin{array}{c|ccc}
x&-\infty&\dfrac{3}{a}&\infty\\ \hline
f'(x)&-&0&+\\
f(x)&\searrow&\text{最小}&\nearrow
\end{array}
\]
\item
\[
p=\frac{3}{a},\qquad
S=\frac{e^{2a}}{a}\left(1+\frac{2}{e^2}-\frac{2}{e^3}\right)
\]
\item
\[
a=\frac12
\]
\end{enumerate}
\newpage
\item
\begin{enumerate}
\item
\[
e^x-1-x-\frac{x^2}{2}
=\frac12\int_0^x (x-t)^2e^t\,dt>0
\qquad(x>0)
\]
\item
\[
\lim_{x\to\infty}f(x)=0
\]
\item
\[
-1\leqq a<2
\]
\item
\[
\begin{array}{c|c|c}
a&\text{最大値}&\text{最小値}\\ \hline
-1\leqq a<0&\text{存在しない}&-2e^{-\frac{a+2}{2}}\\[2mm]
0\leqq a<2&a&-2e^{-\frac{a+2}{2}}
\end{array}
\]
\[
x_{\min}=\pm\sqrt{a+2},\qquad
x_{\max}=0\quad(0\leqq a<2)
\]
\end{enumerate}
\newpage
\item
\begin{enumerate}
\item
\[
f(x)=(x-1)e^x
\]
\item
\[
g(x)=e^x
\]
\item
\[
\begin{array}{c|ccccc}
k&k<0&k=0&0<k<e&k=e&k>e\\ \hline
\text{異なる実数解の個数}&1&0&0&1&2
\end{array}
\]
\end{enumerate}
\newpage
\item
\[
(x,y,z)=(-3,1,2),\quad(-2,-1,3)
\]
\end{enumerate}