LaTeX 解答生成・検査パイプライン

問題TeXソース

¥begin{enumerate}

¥item 正の実数$a$に対して、$f(x)=(2-ax)e^{-a(x-2)}$とする。次の問に答えよ。
¥begin{enumerate}
  ¥item $f(x)$の増減を調べよ。
  ¥item $f(x)$を最小にする$x$の値を$p$で表す。このとき、$S=¥displaystyle ¥int_{0}^{p} | f(x)| dx$を$a$を用いて表せ。
  ¥item $(2)$の$S$を最小にする$a$の値を求めよ。
¥end{enumerate}
¥begin{flushright}
	$ ¥langle 早稲田理工　2017 ¥rangle $
¥end{flushright}


¥newpage


¥item $a$を定数、$e$を自然対数の底とし、$f(x)=(a-x^2)e^{-¥frac{x^2}{2}}$とおく。
¥begin{enumerate}
  ¥item $x>0$のとき、不等式$e^x > 1+x+¥dfrac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ。
  ¥item $¥displaystyle ¥lim_{x ¥to ¥infty} f(x)$を求めよ。
  ¥item 関数$f(x)$が、$-1 <x < 2$において、ちょうど$2$個の極値をもつように、定数$a$の値の範囲を定めよ。
  ¥item $a$は$(3)$で定めた範囲にあるとする。区間$(- ¥infty,¥infty)$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ。
¥end{enumerate}
¥begin{flushright}
	$ ¥langle 群馬大医　2015 ¥rangle $
¥end{flushright}




¥newpage

¥item 微分可能な関数$f(x)$は、$2$つの条件$f'(x)=x e^x~,~f(1)=0$を満たしている。このとき、次の問いに答えよ。
¥begin{enumerate}
  ¥item 関数$f(x)$を求めよ。
  ¥item すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ。
  ¥[ g(x) = f(x) + ¥dfrac{(2-x)e^x}{e-1} ¥displaystyle ¥int_{0}^{1} g(t) dt ¥]
  ¥item $g(x)$を$(2)$で求めた関数とし、$k$を定数とする。$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ。ただし、$¥displaystyle ¥lim_{x ¥to ¥infty} ¥frac{e^x}{x} = ¥infty$を用いてよい。
¥end{enumerate}
¥begin{flushright}
	$ ¥langle 宇都宮大　2015 ¥rangle $
¥end{flushright}

¥newpage


¥item 連立方程式$¥begin{cases} x^2 = yz+7 ¥¥ y^2 = zx + 7 ¥¥ z^2 = xy+7 ¥end{cases}$を満たす整数の組$(x,y,z)$で、$x ¥leqq y ¥leqq z$となるものを求めよ。
¥begin{flushright}
	$ ¥langle 一橋大　2017 ¥rangle $
¥end{flushright}







¥end{enumerate}

GPT生成 解答TeX（検査前）

\begin{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
  \item
  \[
  \begin{array}{c|ccccc}
  x&-\infty&&\dfrac{3}{a}&&\infty\\ \hline
  f'(x)&&- &0&+&\\ \hline
  f(x)&&\searrow&-e^{2a-3}&\nearrow&
  \end{array}
  \]
  \item
  \[
  p=\frac{3}{a},\qquad
  S=\frac{e^{2a}}{a}\left(1+\frac{2}{e^2}-\frac{2}{e^3}\right).
  \]
  \item
  \[
  a=\frac12.
  \]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
  \item
  \[
  e^x-1-x-\frac{x^2}{2}
  =\frac12\int_0^x (x-t)^2e^t\,dt>0.
  \]
  \item
  \[
  \lim_{x\to\infty}f(x)=0.
  \]
  \item
  \[
  -1\leqq a<2.
  \]
  \item
  \[
  \min_{x\in\mathbb R}f(x)
  =-2e^{-\frac{a+2}{2}}
  \qquad
  \left(x=\pm\sqrt{a+2}\right),
  \]
  \[
  \max_{x\in\mathbb R}f(x)=
  \begin{cases}
  \text{存在しない},&-1\leqq a<0,\\[2mm]
  a,&0\leqq a<2
  \end{cases}
  \qquad
  \left(x=0\right).
  \]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
  \item
  \[
  f(x)=(x-1)e^x.
  \]
  \item
  \[
  g(x)=e^x.
  \]
  \item
  \[
  \#\{x\in\mathbb R\mid g(x)=kx\}=
  \begin{cases}
  1,&k<0,\\
  0,&0\leqq k<e,\\
  1,&k=e,\\
  2,&k>e.
  \end{cases}
  \]
\end{enumerate}

\item
\[
(x,y,z)=(-3,1,2),\quad(-2,-1,3).
\]

\end{enumerate}

Claudeによる指摘事項

(パース失敗: 出力形式が想定と異なります)

[警告] 出力が最大トークン数(ANTHROPIC_MAX_TOKENS=8192)に達し、途中で打ち切られた可能性があります。問題数を減らすか、.envのANTHROPIC_MAX_TOKENSを増やして再実行してください。

修正後の解答TeX（最終）